遗传算法中适值函数的标定与大变异算法本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标

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前言

本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标定(Scaling)方法进行下总结，并针对常用的线性标定和动态线性标定进行了Python实现，以装饰器的形式添加到遗传算法框架GAFT中，这样在使用GAFT运行遗传算法迭代的时候可以更加Pythonic的给自定义的适值函数进行标定。最后针对能够防止早熟情况的大变异算法进行了相应的实现。

目前(动态)线性标定装饰器以及大变异算子均已添加到GAFT中，gaft项目链接:

GitHub: http://github.com/PytLab/gaft

PyPI: http://pypi.python.org/pypi/gaft

适值函数的标定

选择压力

The tendency to select the best member of the current generation is known as selective pressure.

选择压力也就是种群中最好个体与最坏个体被选中概率的差值，这个差距越大，选中好个体的趋势就越大，则成为选择压力大。

适值函数的标定

一般情况下，直接拿目标函数作为适值函数十分的方便，但是很多情况下却不能这么做，例如对于求最小值问题，我们必须将目标函数取反才能作为适值函数(这是最简单的情况)。

当我们遗传算法中不同个体适值函数的值相对差别很小的时候，我们根据适应度值的大小进行个体选择的选择压力(Selective pressure)就会变小，选优的能力弱化，这个时候我们需要对原始的适值函数进行标定(Scaling)是的他们相对差别增大，进而增大选择压力，增强算法的选优能力。

例如:

局部搜索、广域搜索与选择压力的关系

在遗传算法中，局部搜索同广域搜索其实相互矛盾的，注重局部搜索则会陷入局部最优，但是注重广域搜索会导致算法精确开发能力不强。因此需要综合两者考虑，我们可以在搜索刚刚开始的时候使用较小的选择压力来广域搜索，随着迭代的进行可以动态的增大选择压力来使算法偏向于局部搜索。

几种不同的适值函数标定方法

对目标函数的标定方法一般有:线性标定、动态线性标定、幂律标定、对数标定等

线性标定

线性标定的形式:

其中f′为标定后的适值函数，ff为原始的目标函数。

求最大值

对于求目标函数的最大值的时候, 即 arg max f(x)

我们取a=1,b=?fmin+ξ, 其中ξ是一个较小的数，目的是使得种群中最差个体也有被选中的机会，不然自身减掉f?fmin=0, ξ的存在可以增加种群的多样性。

最终的适值函数表达式:

求最小值

当我们需要求目标函数最小值的时候，arg min f(x)，我们需要对目标函数进行取反操作, 即 a=?1,b=fmax?f(x)+ξ

最终的适值函数表达式:

GAFT中添加对于目标函数的标定

由于适值函数标定并不针对某个目标函数，我便想通过装饰器的方式来方便给任何自定义的fitness函数进行标定。对于基本的线性标定，我在GAEngine中添加了个带参数的装饰器:

def linear_scaling(self, target="max", ksi=0.5):

"""

A decorator constructor for fitness function linear scaling.

:param target: The optimization target, maximization or minimization.

:type target: str, "max" or "min"

:param ksi: Selective pressure adjustment value.

:type ksi: float

Linear Scaling:

1. arg max f(x), then f" = f - min{f(x)} + ksi;

2. arg min f(x), then f" = max{f(x)} - f(x) + ksi;

"""

def _linear_scaling(fn):

# For original fitness calculation.

self.ori_fitness = fn

@wraps(fn)

def _fn_with_linear_scaling(indv):

# Original fitness value.

f = fn(indv)

# Determine the value of a and b.

if target == "max":

f_prime = f - self.ori_fmin + ksi

elif target == "min":

f_prime = self.ori_fmax - f + ksi

else:

raise ValueError("Invalid target type({})".format(target))

return f_prime

return _fn_with_linear_scaling

return _linear_scaling

这个时候如果我们在定义了一个自己的目标函数以后，想对其进行线性标定便可以使用engine的这个装饰器对函数进行修饰即可, 像下面这样:

# Create a GA engine...

# 先标定，后注册到引擎中

@engine.fitness_register

@engine.linear_scaling(target="min", ksi=0.5)

def fitness(indv):

x, = indv.variants

return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)

其中装饰器中的参数分别为:

target: 优化目标函数到最小值还是最大值，值可以是:"max"或者"min"

ksi: 即公式中ξξ

动态线性标定

动态线性标定是遗传算法中最常用的标定方法，他是基于上面提到的线性标定，在线性标定中的ξξ在动态线性标定中并不是一成不变的，而是随着迭代次数的增加而变化。

动态线性标定的函数表达式:

其中，k为迭代指标，表示ξ会随着迭代数而不同。

求最大值

当我们的优化目标是目标函数的最大值，这是我们取ak=1,bk=?fmin+ξk, 这是的函数表达为:

关于ξk

动态线性标定中的ξk作用同线性标定中的ξ为选择压力调节值, 它的存在使得种群中最坏的个体仍有被选中的机会，但是动态标定中的ξkξk的值会随着kk增大而减小。

ξk的取值: ξ0=M, ξk=ξk?1?r, r∈[0.9,0.999], 我们通过调节M和r来调节ξk

通过可以动态变化的ξk，我们可以使广域搜索范围宽保持种群的多样性，局部搜索保持收敛性，即，开始时希望选择小，迭代到后面希望选择压力逐渐变大.

GAFT中添加给目标函数添加动态线性标定

与上面线性标定的方法相同，GAFT中同样使用了标定装饰器来装饰用户自定义的目标函数，实现代码:

def dynamic_linear_scaling(self, target="max", ksi0=2, r=0.9):

"""

A decorator constructor for fitness dynamic linear scaling.

:param target: The optimization target, maximization or minimization.

:type target: str, "max" or "min"

:param ksi0: Initial selective pressure adjustment value, default value

is 2

:type ksi0: float

:param r: The reduction factor for selective pressure adjustment value,

ksi^(k-1)*r is the adjustment value for generation k, default

value is 0.9

:type r: float in range [0.9, 0.999]

Dynamic Linear Scaling:

For maximizaiton, f" = f(x) - min{f(x)} + ksi^k, k is generation number.

"""

def _dynamic_linear_scaling(fn):

# For original fitness calculation.

self.ori_fitness = fn

@wraps(fn)

def _fn_with_dynamic_linear_scaling(indv):

f = fn(indv)

k = self.current_generation + 1

if target == "max":

f_prime = f - self.ori_fmin + ksi0*(r**k)

elif target == "min":

f_prime = self.ori_fmax - f + ksi0*(r**k)

else:

raise ValueError("Invalid target type({})".format(target))

return f_prime

return _fn_with_dynamic_linear_scaling

return _dynamic_linear_scaling

这里充分的利用Python的闭包，在engine中获取当前种群最大值与最小值的相关数据。

在脚本中修饰目标函数便可以这样:

@engine.fitness_register

@engine.dynamic_linear_scaling(target="max", ksi0=2, r=0.9)

def fitness(indv):

x, = indv.variants

return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)

其他标定方法

这里简要的介绍下其他标定方法。

幂律标定

函数表达式: f′=fα

α的取值, α>1增大选择压力, α<1减小选择压力

对数标定

函数表达式: f′=aLnf+b

作用: 缩小目标函数之间的差别

指数标定

函数表达式: f′=aebf+c

作用: 扩大目标函数间的差别

窗口技术

函数表达式: f′=af?fw

fw为前W代中的目标函数最小值，他考虑了各代fmin的波动，这样fw具有记忆性

大变异算法

众所周知，简单的遗传算法存在“早熟”的问题，也就是算法过早的收敛到一个非全局最优点，出现此问题的主要原因是一种被称为“顶端优势”的现象存在，即当算法进行到某一代时，在种群中某个个体的适应度远远大于任何一个个体的适应度，导致选择算法总是会选到此个体生成子代个体，极限情况下就是所有个体都来自统一祖先，即”早熟”。除了对目标函数进行标定，我们可以通过大变异算法来避免早熟。

大致思路: 当某代中所有个体集中在一起时，我们以一个远大于通常变异概率的概率执行一次变异操作，具有大变异概率的变异操作能够随机、独立的产生许多新的个体，从而是整个种群脱了“早熟”。

如何判断种群个体的集中程度

通常采取比较种群中所有个体的适应度值的平均值favg与最大值fmax的接近程度来判断，如果最大值与平均值越接近说明个体就越集中。

具体过程

当某一代的最大适应度fmax与平均适应度值favg满足:

其中，0.5<α<1, 被称为密集因子，表征个体集中程度。随后，我们以一个大变异概率进行一次变异操作(通常大5倍以上), 即“打散”。

大变异操作的两个参数

密集因子α: 决定大变异操作在整个过程中所占的比重，其数值约接近0.5，大变异操作越频繁

大变异概率: 概率越大，大变异算法的稳定性就越好，但是收敛速度可能会降低，当大变异概率的数值为0.5的时候，大变异操作就近似退化为随机搜索

GAFT中的大变异算子

大变异操作与具体的变异算子实现无关，这里我还是依据内置的FlipBitMutation算子为基础, 具体的代码实现参见http://github.com/PytLab/gaft/blob/master/gaft/operators/mutation/flip_bit_mutation.py

class FlipBitBigMutation(FlipBitMutation):

def __init__(self, pm, pbm, alpha):

"""

Mutation operator using Flip Bit mutation implementation with adaptive

big mutation rate to overcome premature or local-best solution.

:param pm: The probability of mutation (usually between 0.001 ~ 0.1)

:type pm: float in (0.0, 1.0]

:param pbm: The probability of big mutation, usually more than 5 times

bigger than pm.

:type pbm: float

:param alpha: intensive factor

:type alpha: float, in range (0.5, 1)

"""

super(self.__class__, self).__init__(pm)

if not (0.0 < pbm < 1.0):

raise ValueError("Invalid big mutation probability")

if pbm < 5*pm:

self.logger.warning("Relative low probability for big mutation")

self.pbm = pbm

# Intensive factor.

if not (0.5 < alpha < 1.0):

raise ValueError("Invalid intensive factor, should be in (0.5, 1.0)")

self.alpha = alpha

def mutate(self, individual, engine):

"""

Mutate the individual with adaptive big mutation rate.

"""

pm = self.pm

if engine.fmax*self.alpha < engine.fmean:

self.pm = self.pbm

self.logger.info("Big mutation probabilty: {} -> {}".format(pm, self.pm))

# Mutate with big probability.

individual = super(self.__class__, self).mutate(individual, engine)

# Recover probability.

self.pm = pm

return individual

总结

参考

《MATLAB最优化计算(第三版)》

马钧水, 刘贵忠, 贾玉兰. 改进遗传算法搜索性能的大变异操作[J]. 控制理论与应用, 1998(3):404-408. 遗传算法中适值函数的标定与大变异算法

来源：伯乐在线 - iPytLab

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