圆的三切线转化线段和这个解法真奇妙

微信昵称为“小祁”的读者朋友问到下面的问题.

左老师，这道题如何理解？

这道题有多位读者朋友问到过，所以专门写一写.

看不懂答案怎么办？

这位读者朋友碰到的问题依然是——看不懂答案.

看不懂答案怎么办？

我写过解题走进死胡同，如何能出来，不纠结，换条道.

首先，赋予代数式几何意义.

条件如何理解？

如下图所示.

所求如何理解？

a是线段OA的长， b是线段OB的长，剩下的部分刚好是线段AB的长.所求的部分刚好是三角形OAB的周长.

不知道童鞋们对昨天的文章——巧用直线的参数方程求线段的乘积是否还有印象？这个图和昨天的图是一样的.

如上图所示，过点P做两轴的垂线.引入角变量α，来表示各边长.

下面作变量代换，然后求新函数的最小值.

在研究出函数解析式之后，求最值的手段既可以利用导数工具，也可以利用基本不等式.本题利用基本不等式更容易操作.

而昨天题目中出现的分式函数用求导法更加合适.

还是一句老话——具体问题、具体分析.我们作为解题者，更应该总结具体的、针对不同解析式的解题规律.

让问题进入后台

有了这个解法做基础，我们再回头看问题中的解法，有没有新的思路呢？

我遇到一时想不通的解法时，会仔细思考一会儿，然后放一边.

这个方法就是让问题进入潜意识.

我们的大脑和电脑是一样的，虽然我们没有思考这个问题，但是这个问题已经进入我的后台，在偶然的机会，比如散步、洗澡、闲聊时，大脑就进入了答案的区域.

再看一遍题目.

我们过点P(1,2）任意作一条在两轴截距均为正数的直线.

下一步是关键.

作一个与x正半轴、y轴正半轴均相切，且在直线AB上方与AB相切的圆.

这个圆能做出来吗？

首先要保证圆与x轴正半轴、y轴正半轴均相切.

这样的圆C也好找，圆心坐标为（r,r），半径为r（r>0）即可.

然后求出圆心到直线AB的距离，利用d=r求出r，那么圆就确定了.

当然，直线AB的方程如果变化，这个圆的方程也会随之变化.

看下图.

设圆C与x轴、y轴分别相切于M、N点，与直线AB相切于点Q.

根据圆的切线长定理，QB=QM，QA=AN.

见证奇迹的时候到了.

也就是说，所求的最小值取决于这个圆的半径的最小值.

注意，直线AB是过定点P（1,2）的任意直线.

我们要研究在满足要求的圆中，哪一个圆的半径最小.

观察上图.

所以，最小半径为5，故所求的最小值为10.

两个解法，殊途同归，答案都是10.

亲爱的读者朋友，你学会什么了呢？

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